Српски
Srpski
English
eXTReMe Tracker
ВЕЧИТИ ШАХ
Прва - Турнири - Претрага - Рејтинг - Лига - Вести - Линк
user:  
pass:
 
  Како спречити рејтинг кашњење?

Како спречити рејтинг кашњење?

04.05.2013 /   Андрејић, Владица (2212)

Уколико ФИДЕ жели да води рејтинг листу за цугере онда се обавезно мора спречити рејтинг кашњење. Ево мог предлога...

Рејтинг кашњење

Пре четири године почела је дебата о томе да ли треба повећати развојни коефицијент, чувени K, са којим ФИДЕ обрачунава рејтинг. Највећи заговорник промена био је пољски велемајстор Бартломеј Мачеј који је сматрао да би K ваљало повећати јер је ФИДЕ фреквентније почела да публикује рејтинг листе. Проблем је у феномену познатом као "рејтинг лаг", а огледа се у томе да играч зарађује нове рејтинг поене док има стари, доста нижи рејтинг, јер постоји кашњење (лаг) између одиграних турнира и објављивања рејтинг листе. Када би се турнири одмах обрађивали играч који би зарадио већи рејтинг одмах би имао и већа очекивања, тако да би му будућа зарада била нижа. У читавој причи највише ми се свидео одговор Џона Нана, који је изнео став да је рејтинг лаг дефект који треба што пре елиминисати, те да он није нераскидив део Ело рејтинг система. Једноставно речено, не треба подешавати рејтинг систем тако да се аномалије сложе, односно то не може бити једини разлог за повећање коефицијента.

Као што добро знамо ФИДЕ је увела рејтинг листе и за рапид и за цугер турнире. Сведоци смо да неки играчи успевају да направе преко 100 одиграних цугер партија у рејтинг периоду, и то није ништа ненормално. Међутим, уколико желимо да рејтингујемо цугере у духу ФИДЕ система морамо поставити питање рејтинг лага јер је он овде много израженији. Подсетимо се само примера из нашег претходног чланка. Претпоставимо да неки играч вреди око 200 рејтинг поена више од свог рејтинга (или је једноставно 200 поена бољи цугераш од класичног рејтинга, који се на старту преузима у складу са ФИДЕ пропозицијама за цугер рејтинг). Његова очекивања против сопственог рејтинга су отприлике таква да од две партије једну партију добије а једну ремизира. При коефицијенту К=20 који ФИДЕ користи зарада нашег играча по партији је око 5 поена. Ако одигра 100 партија у рејтинг периоду добијамо зараду од 500 поена, која за 300 поена превазилази снагу играча.

Како решити проблем рејтинг кашњења? На почетку бих замолио ФИДЕ да не траже решење од Џефа Сонаса, јер је он један обичан шарлатан и прљави плагијатор. Шаховски интернет сервери немају рејтинг кашњење јер после одигране партије играчи одмах добијају нове рејтинге, међутим, такав интерактивни обрачун није у духу ФИДЕ обрачуна. Наш циљ је пронаћи начин да елиминишемо рејтинг лаг, али тако да можемо рејтинговати доста партија у оквиру рејтинг периода, при чему редослед играња партија не сме утицати на обрачун. То се може урадити имитацијом интерактивног система кроз наредну математичку причу. Људи који нису фамилијарни са математиком могу прескочити наредну секцију и одмах прећи на закључке на крају.

Математика рејтинг кашњења

Претпоставимо да је играч са рејтингом $R$ одиграо $n$ партија, тако што је у $i$-тој партији играо против противника са рејтингом $R_i$ и направио резултат $P_i\in\{0,\frac{1}{2},1\}$. Његова зарада рејтинга на $i$-тој партији може се изразити са $$Z_i=K(P_i-f(R-R_i)),$$ где је $K$ развојни коефицијент, а $f$ функција рејтинг очекивања.

Ја сматрам да је природа рејтинга таква да чува одговарајуће односе, те је $f(x)=\frac{1}{1+C^x}$, при чему се обично узима $C=10^{-\frac{1}{400}}$ јер како ФИДЕ у свом Хендбуку каже, такво $f$ јако добро опонаша вредности из таблица које ФИДЕ користи. У сваком случају за мале вредности $x$ важи \begin{equation*}\label{aprox} f(x)=\frac{1}{2}+ \frac{\log 10}{1600}x+ o(x^2)\approx \frac{1}{2}+ \frac{x}{695}, \end{equation*} те $f$ можемо апроксимирати линеарном функцијом, при чему ћемо често користити последицу $$f(x+d)\approx f(x)+\frac{d}{695}.$$

Класичан начин ФИДЕ обрачуна рејтинга је да једноставно сабере све појединачне зараде, те добијамо укупну зараду $$Z=\sum_i Z_i=Z_1+Z_2+...+Z_n.$$

Анализирајмо сада шта се дешава уколико би рејтинговали партију по партију. Након прве партије зарада је иста и износи $$Z'_1=Z_1.$$ Пред другу партију имамо промену рејтинга тако да зарада за другу партију износи $$Z'_2=K(P_i-f(R-R_2+Z'_1))\approx K\left(P_i-f(R-R_2)-\frac{Z'_1}{695}\right)= Z_2-\frac{K}{695}Z_1.$$ Укупна зарада после две партије износиће $$Z'_1+Z'_2\approx \left(1-\frac{K}{695}\right)Z_1+Z_2.$$ За трећу партију имамо $$Z'_3=K(P_i-f(R-R_3+Z'_1+Z'_2))\approx Z_3-\frac{K}{695}Z'_1-\frac{K}{695}Z'_2= Z_3- \frac{K}{695}\left(\left(1-\frac{K}{695}\right)Z_1+Z_2\right),$$ док је укупна зарада после три партије $$Z'_1+Z'_2+Z'_3\approx \left(1-\frac{K}{695}\right)^2Z_1+\left(1-\frac{K}{695}\right)Z_2+Z_3.$$ Понављајући овај поступак до $n$-те партије добијамо укупну зараду $Z'_1+Z'_2+...+Z'_n$ која износи \begin{equation*} \left(1-\frac{K}{695}\right)^{n-1} Z_1+ \left(1-\frac{K}{695}\right)^{n-2}Z_2+ ...+ \left(1-\frac{K}{695}\right)Z_{n-1}+Z_n. \end{equation*}

Овако би се отприлике понашао рејтинг (без рејтинг кашњења) на шаховским интернет серверима, али у духу ФИДЕ обрачуна не сме бити разлике у редоследу одигравања партија. Пролазак кроз све могуће пермутације партија може се најједноставније приказати апроксимацијом сваке од зарада преко аритметичке средине $$Z_i\approx \frac{Z_1+Z_2+...+Z_n}{n},$$ што за нашу укупну зараду даје \begin{equation*} \left(\left(1-\frac{K}{695}\right)^{n-1} + \left(1-\frac{K}{695}\right)^{n-2}+ ...+ \left(1-\frac{K}{695}\right)+1\right)\frac{Z_1+Z_2+...+Z_n}{n}. \end{equation*}

Како је $$\sum_{i=0}^{n-1} \left(1-\frac{K}{695}\right)^{i}= \frac{1-\left(1-\frac{K}{695}\right)^n}{1-\left(1-\frac{K}{695}\right)}= \frac{1-\left(1-\frac{K}{695}\right)^n}{\frac{K}{695}},$$ то за укупну зараду имамо \begin{equation*} \frac{1-\left(1-\frac{K}{695}\right)^n}{\frac{K}{695}}\cdot \frac{Z}{n}= \left(\frac{695}{nK} \left(1-\left(1-\frac{K}{695}\right)^n\right) \right)Z. \end{equation*} Овај резултат једноставно казује да је укупна зарада $M(n,K)\cdot Z$, где је $Z$ класично обрачуната зарада, а $$M(n,K)=\frac{695}{nK} \left(1-\left(1-\frac{K}{695}\right)^n\right).$$

Предлог решења рејтинг кашњења

Као што смо видели у претходној рачуници рејтинг кашњење можемо пристојно елиминисати множењем класичне рачунице за зараду бројем $M(n,K)$ и тако смањити зараду/губитак рејтинга. Погледајмо вредности функције $M(n,K)$ за мале вредности $n$.

  n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 n=13 n=14 n=15
K=10 1.000 0.993 0.986 0.979 0.972 0.965 0.958 0.951 0.944 0.938 0.931 0.925 0.918 0.912 0.905
K=15 1.000 0.989 0.979 0.968 0.958 0.948 0.938 0.928 0.918 0.908 0.899 0.889 0.880 0.871 0.862
K=20 1.000 0.986 0.971 0.958 0.944 0.931 0.918 0.905 0.892 0.880 0.868 0.856 0.844 0.833 0.822
K=30 1.000 0.978 0.957 0.937 0.917 0.898 0.879 0.861 0.844 0.827 0.810 0.794 0.778 0.763 0.748

Ако претпоставимо да смо имали $K$ за које је рејтинг систем јако добро функционисао без нежељених аномалија (односно на малом броју $n$ одиграних партија) и ако желимо да прихватимо овакав нови начин рачунања промене рејтинга потребно је повећати $K$ на $K_1$ тако да важи $K\approx K_1\cdot M(n,K_1)$. На пример, можемо претпоставити да је најрегуларнија ствар за играча одиграти један турнир од уобичајених $n=9$ кола унутар рејтинг периода. Промена у рејтингу за класичног $K=10$ играча биће $M(9,10)=94.4\%$ старе промене, тако да је бољи коефицијент $K_1\approx 10.6$. Наравно ни овде не треба претеривати, те је вероватно боље задржати старо округло $K=10$. У случају играча са $K=15$ било би захвалније користити $K_1=16$.

Међутим, у читавој причи проблем није био класичан шах, јер не може се превише класичних партија одиграти у месец дана, тако да се у том случају може и задржати стари систем. Фокусирајмо се ипак на цугер рејтинг. Како важећи ФИДЕ цугер коефицијент $K=20$ ионако нема пуно смисла (цугер коефицијент не сме бити већи од класичног) довољно је само одабрати пристојан коефицијент у нашој рачуници. Погледајмо на крају таблице $M(n,K)$ за велики број партија $n$.

  n=10 n=20 n=30 n=40 n=50 n=60 n=70 n=80 n=90 n=100 n=110 n=120 n=130 n=140 n=150
K=10 0.938 0.874 0.817 0.764 0.717 0.673 0.633 0.596 0.563 0.532 0.504 0.477 0.453 0.431 0.411
K=15 0.908 0.819 0.742 0.674 0.615 0.564 0.518 0.478 0.443 0.411 0.383 0.358 0.336 0.315 0.297
K=20 0.880 0.769 0.676 0.599 0.534 0.479 0.432 0.392 0.358 0.329 0.303 0.281 0.261 0.244 0.229
K=30 0.827 0.679 0.567 0.480 0.412 0.359 0.316 0.281 0.253 0.229 0.209 0.192 0.178 0.165 0.154

Из таблице се јасно види да уколико рачунамо са $K=20$, као што то ФИДЕ ради, а неко на пример одигра 100 партија, потребно је зараду умножити са 0.329, односно права зарада вреди мање од трећине вредности коју ће обрачунати ФИДЕ. Што је много, много је...